📐 数字排列组合公式
从基础排列到组合数应用，系统掌握 A(n,m) 与 C(n,m) 公式，轻松解决计数问题。
排列数
组合数
阶乘
重复排列
🔢
排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素，按照顺序排成一列。
A(n, m) = n × (n-1) × ... × (n-m+1)
A(n, m) = n! / (n-m)!
例如：A(5,3) = 5×4×3 = 60
🧮
组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不考虑顺序。
C(n, m) = A(n, m) / m!
C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]
例如：C(5,2) = 10
重要性质
- ✔ C(n, m) = C(n, n-m)
- ✔ C(n, 0) = C(n, n) = 1
- ✔ 排列与顺序有关，组合与顺序无关
重复排列
允许重复元素时，从 n 个元素取 m 个排列：
n^m 种方式。
例如：密码锁 (0-9, 4位) → 10⁴ = 10000。
重复组合
从 n 种元素取 m 个允许重复，组合数为 C(n+m-1, m)。
例如：选 3 种水果（可重复）从 5 种中选 → C(7,3)=35。
📘 经典例题
从 6 本不同的书中选 3 本排列在书架上，有多少种排列方式？
解： A(6,3) = 6×5×4 = 120 种。
若只选 3 本不排序（组合）：C(6,3) = 20 种。
❓ 常见问题与解答 Q&A
排列 (Permutation) 强调顺序，改变顺序算作不同结果；组合 (Combination) 忽略顺序，只关注选出的元素集合。例如：选班长和副班长是排列（A,B不同）；选两名代表是组合（{A,B}与{B,A}相同）。
使用公式 C(10,3) = 10×9×8 / 3×2×1 = 720 / 6 = 120。也可以利用对称性：C(10,3)=C(10,7)。计算时先约分更简便。
为了保持组合数学公式的完备性，规定 0! = 1。这样 C(n,0)=n!/(0!·n!)=1，符合“从n个元素中选0个只有一种方式”的直观。
重复排列：从 n 个元素有放回地取 m 次，顺序重要，结果为 n^m。
重复组合：从 n 类元素中取 m 个（每类可取多次），顺序不重要，结果为 C(n+m-1, m)。
关键：是否考虑顺序，以及元素是否可以重复选取。
重复组合：从 n 类元素中取 m 个（每类可取多次），顺序不重要，结果为 C(n+m-1, m)。
关键：是否考虑顺序，以及元素是否可以重复选取。
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记忆口诀
“排列有序，组合无序；先选后排，组合乘阶乘。”
遇到分组问题先判断是否涉及顺序。
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常用场景
密码排列、赛事抽签、彩票组合、分组分配、概率计算…… 数字排列组合是离散数学的基础。